Question

已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

(2)当a>0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

 

Answer 1

（1）y＝2x.

（2）函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.

【解析】【解析】
(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x，

则f′(x)＝2x＋1－，

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为

y－2＝2(x－1)，即y＝2x.

(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋

＝

＝ (x>0)．

由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a.

①当0<a<时，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<a或<x<1；

由f′(x)<0且x>0，得a<x<.

所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)和，单调递减区间是；

②当a＝时，f′(x)＝≥0，当且仅当x＝时，

f′(x)＝0.

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数；

③当<a<1时，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<或a<x<1；

由f′(x)<0且x>0，得<x<a.

所以函数f(x)的单调递增区间是和(a,1)，单调递减区间是；

④当a≥1时，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<；

由f′(x)<0且x>0，得<x<1.

所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.