Question

19．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂的内切圆的面积为4π，设A，B的两点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为5．

Answer 1

分析 由已知求出椭圆的焦点分别为F₁（-4，0）、F₂（4，0），△ABF₂的内切圆半径r=2，△ABF₂的面积S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=20，再由△ABF₂的面积S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=4|y₂-y₁|，由此能求出|y₁-y₂|的值．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a²=25且b²=9，
∴a=5，c=$\sqrt{25-9}$=4，
∴椭圆的焦点分别为F₁（-4，0）、F₂（4，0），
设△ABF₂的内切圆半径为r，
∵△ABF₂的内切圆面积为S=πr²=4π，∴r=2，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=20．
∴△ABF₂的面积S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=$\frac{1}{2}$×20×2=20，
又∵△ABF₂的面积S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|y₁|×|F₁F₂|+$\frac{1}{2}$×|y₂|×|F₁F₂|
=$\frac{1}{2}$×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=4|y₂-y₁|（A、B在x轴的两侧）
∴4|y₁-y₂|=20，解得|y₁-y₂|=5．
故答案为：5．

点评 本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．