Question

7．专家由圆x²+y²=a²的面积S=πa²通过类比推理猜想椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的面积S=πab，之后利用演绎推理证明了这个公式是对的！在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²≤1}，点集B={（x，y）|-3＜x＜3，-1＜y＜5}，则点集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为36+2π．

Answer 1

分析 由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+$y₁²≤1，x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，得$\frac{（x-{x}_{2}）^{2}}{4}$+（y-y₂）²≤1，又-3＜x₂＜3，-1＜y₂＜5，所以点（x，y）表示以集合B为中心的椭圆圆面，由此能求出所求区域的面积．

解答 解：由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+$y₁²≤1，x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
得$\frac{（x-{x}_{2}）^{2}}{4}$+（y-y₂）²≤1，
又-3＜x₂＜3，-1＜y₂＜5，
所以点（x，y）表示以集合B为中心的椭圆圆面．其面积为矩形面积加上1个椭圆的面积，即36+2π．
故答案为：36+2π．

点评 本题考查类比推理，考查面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础．