Question

18．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
（1）求证：O为△BCD的垂心；
（2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）连接BO、DO，可以先证明出AB与平面ACD垂直，然后得到CD与AB垂直，再结合CD与AO垂直得到CD垂直于平面ABO，从而BO垂直于CD，同样的我们可以证出DO垂直于BC，从而得出点O是三角形BDC的垂心．
（2）由勾股定理是平面二维的线与线之间的关系，类比到三维空间可猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD，S_△BCD² =$\frac{1}{4}$CD²•BE² =$\frac{1}{4}$CD²（AB²+AE²）=$\frac{1}{4}$（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化简即得结论．

解答 （1）证明：如图，连接BO、DO
∵BA⊥CA，BA⊥DA，CA∩DA=A
∴BA⊥平面ACD，结合CD?平面ACD
∴CD⊥BA
又∵AO⊥平面BDC，CD?平面BDC
∴CD⊥AO
∵AO∩BA=A
∴CD⊥平面ABO，得到BO⊥CD
∴BO为DC边上的高
同理可得DO为BC边上的高
因此O为三角形BDC的垂心；
（2）解：猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：
直角空间四面体ABCD中，如图作AE⊥CD连BE，
由AB，AC，AD两两垂直，可得A在底面的射影为底面△BCD的垂心，则BE⊥CD．
S_△BCD² =$\frac{1}{4}$CD²•BE² =$\frac{1}{4}$CD²（AB²+AE²）
=$\frac{1}{4}$（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=$\frac{1}{4}$（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=$\frac{1}{4}$（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．

点评 本题考查了三垂线定理及其逆定理在多面体中的应用，属于中档题．本题考查了三垂线定理及其逆定理在多面体中的应用，属于中档题．考查类比推理，体现了数形结合的数学思想．其中由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．