Question

13．设点P（m，n）在圆x²+y²=2上，l是过点P的圆的切线，切线l与函数y=x²+x+k（k∈R）的图象交于A，B两点，点O是坐标原点．
（I）若k=-2，点P恰好是线段AB的中点，求点P的坐标；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由圆的切线的性质可得切线的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式，解方程可得P的坐标；
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个．即有P为AB的中点，且OP⊥AB，即l是圆的切线，且AB的中点为切点．联立切线的方程和抛物线的方程，运用判别式大于0，结合（I）的三个点，代入判别式，即可得到所求k的范围．

解答 解：（I）由题意可得m²+n²=2，
由切线的性质可得l的斜率为-$\frac{m}{n}$，
可得切线的方程为mx+ny=2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立曲线方程y=x²+x-2，可得nx²+（n+m）x-2n-2=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{n+m}{n}$，
由点P恰好是线段AB的中点，可得-$\frac{n+m}{n}$=2m，
即有n+m+2mn=0，又m²+n²=2，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
代入△=（n+m）²+4n（2n+2）＞0，可得
P的坐标为（-1，-1），或（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个．
即有P为AB的中点，且OP⊥AB，即l是圆的切线，且AB的中点为切点．
由$\left\{\begin{array}{l}{mx+ny=2}\\{y={x}^{2}+x+k}\end{array}\right.$，可得nx²+（n+m）x+kn-2=0，
同（I）解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
满足△=（n+m）²-4n（kn-2）＞0，即有k＜$\frac{1+mn+4n}{2{n}^{2}}$，
代入点的坐标可得$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{k＜-1+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{k＜-1-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即有k的范围是k＜-1-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
综上可得，存在k＜-1-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个．

点评 本题考查圆的切线与抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和判别式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．