Question

5．教材曾有介绍：圆x²+y²=r²上的点（x₀，y₀）处的切线方程为x${\;}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，我们将其结论推广：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}=1$，在解本题时可以直接应用，已知：直线x-y+$\sqrt{3}$=0与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞1）有且只有一个公共点；
（1）求a的值；
（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l₁、l₂，且l₁与l₂交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使$\frac{|CN|}{|ND|}=\frac{|MC|}{|MD|}$成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将直线y=x+$\sqrt{3}$代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；
（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得切线l₁：x₁x+2y₁y=2，l₂：x₂x+2y₂y=2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my=1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），N（x₀，y₀），由直线y=k（x-2）+m代入椭圆方程x²+2y²=2，运用韦达定理，由题意可得
$\frac{|CN|}{|ND|}=\frac{|MC|}{|MD|}$，可得$\frac{{x}_{0}-{x}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{3}-2}{{x}_{4}-2}$，求得N的坐标，代入切点弦AB的方程，计算即可判断．

解答 解：（1）将直线y=x+$\sqrt{3}$代入椭圆方程x²+a²y²=a²，
可得（1+a²）x²+2$\sqrt{3}$a²x+2a²=0，
由直线和椭圆相切，可得
△=12a⁴-4（1+a²）•2a²=0，
解得a=$\sqrt{2}$（由a＞1）；
（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得切线l₁：x₁x+2y₁y=2，
l₂：x₂x+2y₂y=2，
由l₁与l₂交于点M（2，m），可得
2x₁+2my₁=2，2x₂+2my₂=2，
由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，
即为x+my=1，原点到直线AB的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+my=1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去x，可得（2+m²）y²-2my-1=0，
y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8（1+{m}^{2}）}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
可得△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$，
设t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$（t≥1），
S=$\frac{\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），N（x₀，y₀），
由直线y=k（x-2）+m代入椭圆方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²+4k（m-2k）x+2（m-2k）²-2=0，
即有x₃+x₄=-$\frac{4k（m-2k）}{1+2{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2（m-2k）^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由线段CD上存在点N，使$\frac{|CN|}{|ND|}=\frac{|MC|}{|MD|}$成立，
可得$\frac{{x}_{0}-{x}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{3}-2}{{x}_{4}-2}$，化为x₀=$\frac{2（{x}_{3}+{x}_{4}）-2{x}_{3}{x}_{4}}{4-（{x}_{3}+{x}_{4}）}$，
代入韦达定理，化简可得x₀=$\frac{2km+1-{m}^{2}}{1+km}$，
y₀=k（x₀-2）+m=k（$\frac{2km+1-{m}^{2}}{1+km}$-2）+m=$\frac{m-k}{1+km}$，
由x₀+my₀=$\frac{2km+1-{m}^{2}}{1+km}$+$\frac{{m}^{2}-km}{1+km}$=$\frac{1+km}{1+km}$=1．
即有N在直线AB上．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的弦长公式和三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．