Question

2．已知函数f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（3）在（2）的条件下，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=$\frac{x_1}{x_2}$，若b≥$\frac{13}{3}$，t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x}（x＞0）$，由此利用导数性质能求出讨论函数f（x）的单调性．
（2）由f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，利用导数的几何意义能求出a的值．
（3）由$g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（b-1）x$，得$g'（x）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$，令g'（x）=0，得x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，由此能求出t的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x+alnx，
∴$f'（x）=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x}（x＞0）$，…（2分）
当a＞0时，由x＞0，得f′（x）≥0；
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＞-a；由f′（x）＜0时，解得0＜x＜-a．
∴若a≥0，则f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；…（3分）
若a＜0，则f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）单调递增，…（5分）
（2）∵f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，
∴由题意知f'（1）=1+a=2，即a=1…（7分）
（3）∵f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx，
∴由$g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（b-1）x$，得$g'（x）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$，
令g'（x）=0，x²-（b-1）x+1=0，即x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1…（9分）
而$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t+2+$\frac{1}{t}$=（b-1）²$≥\frac{100}{9}$，
由x₁＜x₂，即0＜t＜1，解上不等式可得：0＜t$≤\frac{1}{9}$．…（14分）

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．