Question

3．用分析法证明：当x≥4时，$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{x-2}$＞$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 分析使不等式$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{x-2}$＞$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{x-1}$成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答 证明：当x≥4时
要证$\sqrt{x-3}+\sqrt{x-2}＞\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}$
只需证${（\sqrt{x-3}+\sqrt{x-2}）^2}＞{（\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}）^2}$------------（2分）
只需证$x-3+2\sqrt{（x-3）（x-2）}+x-2＞x-4+2\sqrt{（x-4）（x-1）}+x-1$-----------（5分）
即证$\sqrt{（x-3）（x-2）}＞\sqrt{（x-4）（x-1）}$
只需证x²-5x+6＞x²-5x+4
即证6＞4
显然上式成立，------------------------（9分）
所以原不等式成立，即$\sqrt{x-3}-\sqrt{x-1}＞\sqrt{x-4}-\sqrt{x-2}$------------（10分）

点评 本题主要考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．