Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+1与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB交直线x=4于P，Q两点，y_P，y_Q分别为P、Q的纵坐标，求证：$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点M（-2，0），列出方程组，能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由题意得MA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），从而y_P=$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理，${y}_{Q}=\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（k²+2）y²+2ky-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能证明$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点M（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
证明：（Ⅱ）由题意得MA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），
∴y_P=$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理，${y}_{Q}=\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（k²+2）y²+2ky-3=0，
△=4k²+12（k²+2）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{k}^{2}+2}$，
∴$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{\frac{-3k}{{k}^{2}+2}}{\frac{-3}{{k}^{2}+2}}$=$\frac{2k}{3}$，
$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$=$\frac{{x}_{1}+2}{6{y}_{1}}+\frac{{x}_{2}+2}{6{y}_{2}}$
=$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）+{y}_{1}（{x}_{2}+2）}{6{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{2k{y}_{1}{y}_{2}+3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{6{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{k}{3}+\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{2k}{3}$．
∴$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理的合理运用．