Question

1．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：C（x）=$\frac{k}{3x+8}$（0≤x≤10），若无隔热层（即x=0），则每年能源消耗费用为5万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．
（1）求C（x）和f（x）的表达式；
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根据关系式：C（x）=$\frac{k}{3x+8}$（0≤x≤10），无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，可求C（x），利用f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；
（2）利用基本不等式，即可求得函数的最小值．

解答 解：（1）当x=0时，C=5，因为C（x）=$\frac{k}{3x+8}$（0≤x≤10），所以k=40，故C（x）=$\frac{40}{3x+8}$…（3分）
∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和
∴f（x）=6x+20×$\frac{40}{3x+8}$（0≤x≤10）．…（6分）
（2）f（x）=6x+20×$\frac{40}{3x+8}$=2（3x+8）+20×$\frac{40}{3x+8}$-16≥2$\sqrt{1600}$-16=64，…（9分）
当且仅当2（3x+8）=20×$\frac{40}{3x+8}$，
即x=4时取得最小值．…（11分）
即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元．…（12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查学生的阅读能力，建立函数模型是关键．