Question

9．已知函数f（x）=cosx，x∈[0，2π]有两个不同的零点x₁、x₂，且方程f（x）=m有两个不同的实根x₃、x₄，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用余弦函数的图象求得x₁、x₂，再根据等差数列的定义和性质求得x₃、x₄，从而求得m=sinx₃的值．

解答 解：函数f（x）=cosx，x∈[0，2π]有两个不同的零点x₁、x₂，
∴x₁ =$\frac{π}{2}$，x₂=$\frac{3π}{2}$．
∵方程f（x）=m有两个不同的实根x₃、x₄，把这四个数按从小到大排列构成等差数列，
∴x₁+x₂ =x₃ +x₄ =2π，故x₁、x₂ 关于直线x=π对称，x₃、x₄ 关于直线x=π对称．
故x₁、x₂ 是等差数列的首项和末项，x₃、x₄ 分别是第二项和第三项，
∴$\frac{3π}{2}$=$\frac{π}{2}$+3d，∴d=$\frac{π}{3}$，
∴x₃=x₁+d=$\frac{5π}{6}$，x₄=x₁+2d=$\frac{7π}{6}$，∴m=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查余弦函数的图象、等差数列的定义和性质，属于基础题．