Question

14．如图，F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，|DE|=$\sqrt{5}$，若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（$\frac{{x}_{0}}{a}$，$\frac{{y}_{0}}{b}$）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，|DE|=$\sqrt{5}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（$\frac{{x}_{1}}{2}$，y₁），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}，{y}_{2}$），由OP⊥OQ，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}$=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．

解答 解：（1）∵F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
D，E是椭圆的两个顶点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，|DE|=$\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{{b}^{2}+{a}^{2}=5}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（$\frac{{x}_{1}}{2}$，y₁），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}，{y}_{2}$），
由OP⊥OQ，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}$=0，（*）
①当直线AB的斜率不存在时，S=$\frac{1}{2}$|x₁|×|y₁-y₂|=1．
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（4k²+1-m²），${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
同理，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，代入（*），整理，得4k²+1=2m²，
此时，△=16m²＞0，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|m|}$，
h=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴S=1，
综上，△ABC的面积为1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．