Question

4．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y²=2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OQ}$），则双曲线的离心率的平方为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OQ}$），可得P为FQ的中点，设F（c，0），一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点P的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OQ}$），可得P为FQ的中点，
设F（c，0），由渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，①
可设直线FP的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），②
由①②解得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由中点坐标公式可得Q（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$），
代入抛物线的方程可得$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=2p•（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c），③
由题意可得c=$\frac{p}{2}$，即2p=4c，
③即有c⁴-a²c²-a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$可得e⁴-e²-1=0，
解得e²=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，以及点满足抛物线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．