Question

6．在直角坐标系xOy中，圆x²+y²=4上一点P（x₀，y₀）（x₀y₀＞0）处的切线l分别交x轴、y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点．
（Ⅰ）若P点坐标为（$\sqrt{3}$，1），求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）证明|MN|＜4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用直线的斜率公式，可得直线l的方程，求得A，B的坐标，可得椭圆的方程，运用离心率公式可得；
（Ⅱ）直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为$y-{y_0}=-\frac{1}{k}（{x-{x_0}}）$，求得A，B的坐标，椭圆方程，代入直线y=kx，求得M，N的坐标，可得|OM|，运用基本不等式，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）k_OP=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得k₁=-$\sqrt{3}$，直线l的方程为y-1=-$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），
令x=0，得y=4，令y=0，得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）B（0，4）．
即有椭圆C的方程为$\frac{3{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）证明：直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，
直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为$y-{y_0}=-\frac{1}{k}（{x-{x_0}}）$，
令x=0，得$y=\frac{x_0}{k}+{y_0}$，令y=0，得x=ky₀+x₀，
可得$A（{k{y_0}+{x_0}，0}），B（{0，\frac{x_0}{k}+{y_0}}）$，
椭圆C的方程$\frac{x^2}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1}\end{array}}\right.$，
解出$x=±\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{k^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1}}}=±\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}$，
可得$M（{\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}，k\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}}）$，$N（{-\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}，-k\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}}）$，
即有${|{OM}|^2}=\frac{{{{（{{x_0}+k{y_0}}）}^2}}}{{1+{k^4}}}+{k^2}\frac{{{{（{{x_0}+k{y_0}}）}^2}}}{{1+{k^4}}}=\frac{{1+{k^2}}}{{1+{k^4}}}{（{{x_0}+k{y_0}}）^2}$
=$\frac{{1+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}}{{1+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^4}}}{（{{x_0}+\frac{y_0}{x_0}{y_0}}）^2}=\frac{{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0^2}}}{{\frac{x_0^4+y_0^4}{x_0^4}}}{（{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0}}）^2}=\frac{{4{{（{x_0^2+y_0^2}）}^2}}}{x_0^4+y_0^4}$
=$4（{\frac{x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4}{x_0^4+y_0^4}}）=4（{1+\frac{2x_0^2y_0^2}{x_0^4+y_0^4}}）=4（{1+\frac{2}{{{{（{\frac{x_0}{y_0}}）}^2}+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}}}）$
=4（1+$\frac{2}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$）＜4（1+$\frac{2}{2}$）=8，
可得|OM|＜2$\sqrt{2}$，
即有|MN|=2|OM|＜4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程及运用，以及离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，解方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于难题．