Question

16．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F₂的直线在y轴右侧交椭圆于C，D两点．△F₁CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为$-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），求出A（0，b），B（0，-b），4a=8，a=2，由直线AC，BC的斜率之积为$-\frac{1}{4}$．求出b，即可求解椭圆方程．
（Ⅱ）设直线$CD：x=my+\sqrt{3}$，代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用韦达定理，以及弦长公式，求解三角形的面积，得到表达式，然后求解范围．

解答 解：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由题意得A（0，b），B（0，-b），4a=8，a=2（2分）
由${k_{AC}}•{k_{BC}}=\frac{{{y_1}-b}}{x_1}×\frac{{{y_1}+b}}{x_1}=\frac{{y_1^2-{b^2}}}{x_1^2}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}$，
得${b^2}=\frac{1}{4}{a^2}=1$（5分），
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，故设直线$CD：x=my+\sqrt{3}$，

代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，
则${y_1}+{y_2}=\frac{{-2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+4}}$（7分），
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{4\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+4}}$，由x₁＞0，x₂＞0，得0≤m²＜3，
${x_1}+{x_2}=m（{y_1}+{y_2}）+2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}$（10分）
∴面积S=S_△AOD+S_△BOC+S_△OCD=$\frac{1}{2}$×$\frac{{8\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}+\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{{4\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+4}}$=$\frac{{2\sqrt{3}（\sqrt{{m^2}+1}+2）}}{{{m^2}+4}}$（12分）
令$t=\sqrt{{m^2}+1}+2，t∈[3，4）$，
则$S=\frac{{2\sqrt{3}t}}{{{{（t-2）}^2}+3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{t+\frac{7}{t}-4}}$在t∈[3，4）上递减
所以$S∈（\frac{{8\sqrt{3}}}{7}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}]$．（15分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．