Question

8．已知椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点到直线$x=\frac{a^2}{c}$的距离为3，圆N的方程为（x-c）²+y²=a²+c²（c为半焦距），
（1）求椭圆M的方程和圆N的方程．
（2 ） 若直线l；y=kx+m是椭圆M和圆N的公切线，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a=2，c=1，求得b，即可得到椭圆方程；
（2）运用直线和椭圆方程相切的条件：判别式为0，以及直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意知$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=3\end{array}\right.$，
解得a=2，c=1，即有$b=\sqrt{3}$，
可得椭圆M的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
圆N的方程为（x-1）²+y²=5；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆M相切只有一个公共点，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
即有△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
得m²=3+4k²①，
直线l：y=kx+m（k＞0）与圆N相切只有一个公共点，
得$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{5}$，即2km+m²=5+4k²②，
由①②得km=1③，
由①③解得$k=\frac{1}{2}，m=2$或$k=-\frac{1}{2}，m=-2$，
则直线l：$y=\frac{1}{2}x+2$或$y=-\frac{1}{2}x-2$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点到直线的距离公式，考查直线的方程的求法，注意运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．