Question

20．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．
（1）当直线PA的斜率为2时，
①若点A的坐标为（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{7}{5}$），求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；
（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）①求出r²=2，直线PA的方程，代入x²+y²=2，可得5x²-4x-1=0，即可求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，设点P的坐标为（2，t），由垂径定理得：4（r²-d₁²）=16（r²-d₂²），因为点P（2，t）在圆O上，所以2²+t²=r²，即可求r的值；
（2）当点P在圆O上移动时，求出A，B的坐标，即可证明直线OP与AB的斜率之积为定值．

解答 解：（1）①点A的坐标为（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{7}{5}$），代入可得r²=2
直线PA的方程为y+$\frac{7}{5}$=2（x+$\frac{1}{5}$），即y=2x-1，
代入x²+y²=2，可得5x²-4x-1=0，∴点P的坐标为（1，1）；
②因为直线PA与直线PB的倾斜角互补且直线PA的斜率为2，所以直线PB的斜率为-2．
设点P的坐标为（2，t），则直线PA的方程为：2x-y-4+t=0，直线PB的方程为：2x+y-t-4=0．
圆心（0，0）到直线PA，PB的距离分别为d₁=$\frac{|-4+t|}{\sqrt{5}}$，d₂=$\frac{|-t-4|}{\sqrt{5}}$
因为PA=2PB，所以由垂径定理得：4（r²-d₁²）=16（r²-d₂²）
所以4（$\frac{|-t-4|}{\sqrt{5}}$）²-（$\frac{|-4+t|}{\sqrt{5}}$）²=3r²，
又因为点P（2，t）在圆O上，所以2²+t²=r²（2），联立（1）（2）解得r=$\sqrt{13}$或$\frac{\sqrt{37}}{3}$；
（2）由题意知：直线PA，PB的斜率均存在．
设点P的坐标为（x₀，y₀），直线OP的斜率为k_OP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$
直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y-y₀=k（x-x₀），
联立直线PA与圆O方程x²+y²=r²，消去y得：
（1+k²）x²+2k（y₀-kx₀）x+（y₀-kx₀）²-r²=0，
因为点P在圆O上，即x₀²+y₀²=r²，
所以（y₀-kx₀）²-r²=（k²-1）x₀²-2kx₀y₀，
由韦达定理得：x_A=$\frac{（{k}^{2}-1）{x}_{0}-2k{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$，故点A坐标为（$\frac{（{k}^{2}-1）{x}_{0}-2k{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-2k{x}_{0}-{k}^{2}{y}_{0}+{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$），
用“-k“代替“k“得：点B的坐标为（$\frac{（{k}^{2}-1）{x}_{0}+2k{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{2k{x}_{0}-{k}^{2}{y}_{0}+{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$）
∴k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$
∴k_ABk_OP=1．
综上，当点P在圆O上移动时，直线OP与AB的斜率之积为定值1

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．