Question

5．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=2，a₃=3，数列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差为2的等差数列，则S₂₆=（　　）

• A． 249
• B． 250
• C． 251
• D． 252

Answer 1

分析 由已知可得a_n+3-a_n=（a_n+1+a_n+2+a_n+3）-（a_n+a_n+1+a_n+2）=2，故a₁，a₄，a₇，…是首项为1，公差为2的等差数列，a₂，a₅，a₈，…是首项为2，公差为2的等差数列，a₃，a₆，a₉，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．

解答 解：∵数列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差为2的等差数列，
∴a_n+3-a_n=（a_n+1+a_n+2+a_n+3）-（a_n+a_n+1+a_n+2）=2，
∴a₁，a₄，a₇，…是首项为1，公差为2的等差数列，
a₂，a₅，a₈，…是首项为2，公差为2的等差数列，
a₃，a₆，a₉，…是首项为3，公差为2的等差数列，
∴S₂₅=（a₁+a₄+a₇+…+a₂₅）+（a₂+a₅+a₈+…+a₂₆）+（a₃+a₆+a₉+…+a₂₄）
=9×1+$\frac{9×8×2}{2}$+9×2+$\frac{9×8×2}{2}$+8×3+$\frac{8×7×2}{2}$=251．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据已知得到a_n+3-a_n=2，是解答的关键．