Question

10．如图，抛物线：y²=4mx（m＞0）和圆：x²+y²-2mx=0，直线l经过抛物线的焦点，依次交抛物线，圆于A，B，C，D四点，|AB|•|CD|=2，则m的值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），讨论若直线的斜率不存在，则直线方程为x=m，求出A，B，C，D的坐标，求得AB，CD的长，解方程可得m；若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-m），代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义和圆的定义，可得m的方程，即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=4mx焦点F（m，0），p=2m，准线方程为x=-m，
圆（x-m）²+y²=m²的圆心是（m，0）半径r=m，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
过抛物线y²=4mx的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x-m）²+y²=m²于点A，B，C，D，
A，D在抛物线上，B，C在圆上
1．若直线的斜率不存在，则直线方程为x=m，
代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为（m，-2m），（m，-m），（m，m）（m，2m），
所以|AB|•|CD|=m•m=2，
解得m=$\sqrt{2}$；
2．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-m），
因为直线过抛物线的焦点（m，0），
不妨设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由抛物线的定义，|AF|=x₁+m，|DF|=x₂+m，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k²x²-（2mk²+4m）x+m²k²=0，
由韦达定理有x₁x₂=m²，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，
所以|BF|=|CF|=r=m，
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，
|CD|=|DF|-|CF|=x₂，
由|AB|•|CD|=2，即有x₁x₂=2，
由m²=2，解得m=$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，属于中档题．