Question

20．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，则sinα=$\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．

Answer 1

分析 由已知可求范围α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，进而根据两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{12}{13}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．
故答案为：$\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．