Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$．
（1）已知点A，B是椭圆上两点，点C为椭圆的上顶点，△ABC的重心恰好使椭圆的右焦点F，求A，B所在直线的斜率；
（2）过椭圆的右焦点F作直线l₁、l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M、N，直线l₂与椭圆分别交于点P、Q，且|$\overrightarrow{MP}$|²+|$\overrightarrow{NQ}$|²=|$\overrightarrow{NP}$|²+|$\overrightarrow{MQ}$|²，求四边形MPNQ的面积S最小时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，由重心公式得x₁+x₂=3，y₁+y₂=-1，由此结合点差法能求出直线AB的斜率．
（2）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），由题意推导出l₁⊥l₂，若直线l₁⊥l₂中有一条斜率不存在，求出四边形MPNQ的面积为2；若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁的方程为y=k（x-1），（k≠0），与椭圆方程联立，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、弦长公式求出|MN|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}$，同理可求得|PQ|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$，由此能求出四边形MPNQ的面积S的最小值及此时直线l₁的方程．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，1），
∵F（1，0），C（0，1），△ABC的重心恰好使椭圆的右焦点F（1，0），
∴由题意得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}=1$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+1}{3}$=0，
∴x₁+x₂=3，y₁+y₂=-1，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$，①
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$=1，②
①-②，得：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）•\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=0，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{3}{2}$．
（2）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），
由题意：|$\overrightarrow{MP}$|²+|$\overrightarrow{NQ}$|²=|$\overrightarrow{NP}$|²+|$\overrightarrow{MQ}$|²，
即（x_M-x_P）²+（y_M-y_P）²+（x_N-x_Q）²+（y_N-y_Q）²=（x_N-x_P）²+（y_N-y_P）²+（x_M-x_Q）²+（y_M-y_Q）²，
整理，得：x_Nx_P+x_Mx_Q-x_Mx_P-x_Nx_Q+y_Ny_P+y_My_Q-y_My_Q-y_Ny_Q=0，
即（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0，
∴l₁⊥l₂，
①若直线l₁⊥l₂中有一条斜率不存在，不妨设l₂的斜率不存在，则l₂⊥x轴，
∴|MN|=2$\sqrt{2}$，|PQ|=$\sqrt{2}$，
∴四边形MPNQ的面积S=$\frac{1}{2}|PQ||MN|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$．
②若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁的方程为y=k（x-1），（k≠0），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
则${x}_{M}+{x}_{N}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{M}{x}_{N}=\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{M}-{x}_{N}|$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}}）^{2}-\frac{4（2{k}^{2}-2）}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}$，
同理可求得|PQ|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$，
故四边形MPNQ的面积：
S=$\frac{1}{2}|PQ||MN|$
=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}×\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$
=$\frac{4}{2+\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$$≥\frac{16}{9}$，
当k=±1时，取“=”，
此时，四边形MPNQ的面积S的最小值为$\frac{16}{9}＜2$，
∴直线l₁的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

点评 本题考查直线的斜率的求法，考查四边形的面积的最小值的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．