Question

9．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x²+（3a-1）x，若方程f（x）=|e^x-1|（e为自然对数的底）有且仅有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围为a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意y=|e^x-1|的图象如图所示，对二次函数分类讨论，利用方程f（x）=|e^x-1|（e为自然对数的底）有且仅有两个不相等的实数解，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意y=|e^x-1|的图象如图所示．
当x≤0时，f（x）=x²+（3a-1）x的对称轴为x=$\frac{1-3a}{2}$，
$\frac{1-3a}{2}$≥0，即a≤$\frac{1}{3}$，方程f（x）=|e^x-1|（e为自然对数的底）有且仅有两个不相等的实数解．
$\frac{1-3a}{2}$＜0，即a＞$\frac{1}{3}$，方程f（x）=|e^x-1|（e为自然对数的底）有且仅有两个不相等的实数解．
只需要x＞0，f（x）=-x²+（3a-1）x与y=e^x-1只有1个交点（0，0）
由y=e^x-1可得y′=e^x，x=0时，y′=1
由f（x）=-x²+（3a-1）x可得f′（x）=-2x+（3a-1）
令f′（0）=1，可得a=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{2}{3}$，
综上所述，a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查分段函数，考查函数图象的运用，考查分类讨论的数学思想，属于难题．