Question

19．设直线l与抛物线y²=4x相交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为M，当$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值时，点M的轨迹方程是x²+y²-2x=0．

Answer 1

分析 确定$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值时，直线过定点（2，0），利用OM⊥AB，∠OMF=90°，可得点M的轨迹是以OF为直径的圆，其圆心（1，0），半径为1，即可求出点M的轨迹方程．

解答 解：设直线l的方程为x=my+b，则
代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=b²，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-4b=（b-2）²-4，
∴b=2，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值，
∵OM⊥AB，
∴∠OMF=90°，
∴点M的轨迹是以OF为直径的圆，其圆心（1，0），半径为1．
其方程为：x²+y²-2x=0．
故答案为：x²+y²-2x=0．

点评 本题主要考查了圆锥曲线的轨迹问题、抛物线的标准方程和抛物线与其他圆锥曲线的关系．考查了学生分析和解决问题的能力．