Question

18．若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，那么当n＞2，n∈N^*时，aⁿ+bⁿ与cⁿ的大小关系为aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

Answer 1

分析 由题意可得：a²+b²=c²，令$\frac{a}{c}$=cosθ，$\frac{b}{c}$=sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．当n＞2，n∈N^*时，$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ，即可得出．

解答 解：由题意可得：a²+b²=c²，令$\frac{a}{c}$=cosθ，$\frac{b}{c}$=sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
∴cos²θ+sin²θ=1．
∴当n＞2，n∈N^*时，$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ=1．
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ，
故答案为：aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

点评 本题考查了勾股定理、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．