Question

14．设函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=$\frac{π}{3}$处取得极大值2，其图象与x轴相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）-$\sqrt{3}$≥0的解集；
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来得$\frac{1}{2}$，再把所得到的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$，可得周期，从而得ω=1，由函数在x=$\frac{π}{3}$处取得最大值2，得出A=2，φ=-$\frac{π}{6}$，得出解析式
（2）根据性质得出sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角函数得出$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈z，
（3）利用三角变换得出h（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（4x+$\frac{π}{2}$）=2cos（4x），$-\frac{2π}{3}$≤4x≤$\frac{π}{3}$，利用余弦函数性质求解即可．

解答 解：（1）∵其图象与x轴相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
∴可得周期T=π，即ω=1，
∵由函数在x=$\frac{π}{3}$处取得最大值2，其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）
∴得出A=2，φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（2）∵f（x）-$\sqrt{3}$≥0，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈z，
∴$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{5}{12}$+kπ，k∈z
解集：{x|$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{5}{12}$+kπ，k∈z}
（3）f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∵函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来得$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
∵把所得到的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度
∴h（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（4x+$\frac{π}{2}$）=2cos（4x），
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，
∴$-\frac{2π}{3}$≤4x≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤cos4x≤1，-1≤y≤2
∴值域为：[-1，2]

点评 本题综合考查了三角函数的性质，不等式，图象的变换，属于综合题目，需要学生对于知识的综合运用较熟练，但是难度不大．