Question

已知函数f（x）=

xInx

x-1

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域：
（Ⅱ）设F（x）=f′（x）+

a

x-1

对?x∈[2，+∞）均有F（x）≤2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）令对数的真数大于0，分式的分母不为0，列出不等式组，求出x的范围，写出集合或区间即得到函数的定义域．
（II）求出f（x）的导数代入F（x）中得到恒成立的不等式，分离参数a，构造新函数g（x），求出g（x）的导数，为判断g（x）导数的符号，再构造函数m（x），求出m（x）的导数，判断出其符号，求出m（x）d的最小值，判断出g（x）导数的符号判断出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，求出a的范围．

解答：解：（I）由

x＞0 x-1≠0

得函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
（II）由已知F（x）=f′（x）+

a

x-1

=

x-1-lnx

(x-1)2

+

a

x-1

≤2在[2，+∞）上恒成立等价于
a≤[2-

x-1-lnx

(x-1)2

](x-1)=2x-3+

lnx

x-1

在[2，+∞）上恒成立
令g（x）=2x-3+

lnx

x-1

（x≥2）
则g′(x)=

2x2-4x+3- 1 x -lnx

(x-1)2

令m（x）=2x2-4x+3-

1

x

-lnx
则m′(x)=(x-1)(4-

1

x2

)
∵x≥2
∴m′（x）＞0
∴m（x）在[2，+∞）上为增函数，且m（2）=

5

2

-ln2＞0
∴x≥2时，恒有m（x）＞0，也恒有g′（x）＞0
∴g（x）在[2，+∞）上为增函数，最小值为g（2）=1+ln2
∴a≤1+ln2
即实数a的取值范围（-∞，1+ln2）

点评：解决不等式恒成立问题，一般分离参数，构造新函数，通过求导数求出函数的最值，从而求出参数的范围．