Question

如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，，为棱上一点，且.

（Ⅰ）求二面角的余弦值；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

 

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）在棱取三等分点，使，则，⊥平面，

⊥平面，过点作于，连结，

则，为所求二面角的平面角.

在中，，

，

所以，二面角的余弦值为

（Ⅱ）因为，所以点到平面的距离等于

到平面的距离，⊥平面，

过点作于，连结，则，

⊥平面，过点作于，

则，为所求距离，

所以，求点到平面的距离为

解法二：

证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、

B(4，0，0)、C(4，3，0), 有已知得，

得.

设平面QAC的法向量为，则，

即，∴，

令，得到平面QAC的一个法向量为

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.             

设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

设平面PBD的法向量为，则，

即，∴令，得到平面QAC的一个为法向量为

 ∵，

∴C到面PBD的距离为