Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n和为T_n，试着比较T_n与$\frac{3}{4}$的大小．

Answer 1

分析 （I）由2S_n=（n+1）a_n，n∈N^*，n≥2时，2S_n-1=na_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$（n≥2），利用$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{1}}{1}$即可得出．
（II）由（I）可得：b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=（n+1）a_n，n∈N^*，
∴n≥2时，2S_n-1=na_n-1，可得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$（n≥2），
又a₁=1，∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，∴a_n=n．
（II）由（I）可得：b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n和为T_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．