Question

13．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₂=3，且a₅是a₄，a₈的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求使a_n＜S_n成立的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列与等差数列的通项公式及其性质即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=6n-n²．不等式a_n＜S_n，即7-2n＜6n-n²，化简解出即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差d≠0，∵a₅是a₄，a₈的等比中项，∴${a}_{5}^{2}$=a₄•a₈，∴$（{a}_{1}+4d）^{2}$=（a₁+3d）（a₁+7d），
化为：5d+2a₁=0，又a₁+d=3，联立解得：a₁=5，d=-2，
∴a_n=5-2（n-1）=7-2n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（5+7-2n）}{2}$=6n-n²．
不等式a_n＜S_n，即7-2n＜6n-n²，化为：n²-8n+7＜0，解得1＜n＜7．
∴n=2，3，4，5，6．
∴使a_n＜S_n成立的所有n的值为2，3，4，5，6．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．