Question

8．在直角坐标系xoy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲线C₂，试写出曲线C₂的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂上求一点P，使P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．将曲线C₁上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲线C₂，可得：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，利用平方关系可得参数方程．
（2）设点P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，则P到直线l的距离d=$\frac{|4sin（\frac{π}{3}-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，利用三角函数的单调性值域即可得出最大值．

解答 解：（1）由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程：2x-y-6=0．
曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：x²+y²=1．
将曲线C₁上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲线C₂，可得：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
∴曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）设点P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，
则P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（\frac{π}{3}-θ）-6|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，当且仅当$sin（\frac{π}{3}-θ）$=-1时取等号，取θ=$\frac{5π}{6}$．
∴P$（-\frac{3}{2}，1）$到直线l的距离最大值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、椭圆参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．