Question

17．已知动圆P过点A（-2，0）且与圆B：（x-2）²+y²=36内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）若轨迹E上有一动点Q，满足∠AQB=60°，求|QA|•|QB|的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，不难得到||PA|+|PB|=6，转化为椭圆定义，求出动圆圆心P的轨迹的方程．
（2）利用余弦定理及椭圆的定义，建立方程，即可得出结论．

解答 解：（1）依题意，动圆与定圆相内切，得|PA|+|PB|=6，可知P到两个定点A、B的距离的和为常数6，并且常数大于|AB|，所以点P的轨迹为以A、B焦点的椭圆，可以求得a=3，c=2，b=$\sqrt{5}$，
所以动圆圆心P的轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设|QA|=m，|QB|=n，
则由余弦定理可得16=m²+n²-2mn×$\frac{1}{2}$=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn，
∵m+n=6，
∴mn=$\frac{20}{3}$，即|QA|•|QB|=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，余弦定理的运用，是中档题．