【题目】【2017南京一模19】设函数,
.
(1)当时,解关于
的方程
(其中
为自然对数的底数);
(2)求函数的单调增区间;
(3)当时,记函数
,是否存在整数
,使得关于
的不等式
有解?若存在,请求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
(参考数据:,
)
【答案】见解析
【解析】解:(1)当时,方程
即为
,去分母,得
,解得
或
,
故所求方程的根为或
.
(2)因为,
所以(
),
①当时,由
,解得
;
②当时,由
,解得
;
③当时,由
,解得
;
④当时,由
,解得
;
⑤当时,由
,解得
.
综上所述,当时,
的增区间为
;
当时,
的增区间为
;
时,
的增区间为
..
(3)方法一:当时,
,
,
所以单调递增,
,
,
所以存在唯一,使得
,即
,.1
当时,
,当
时,
,
所以,
记函数,则
在
上单调递增,.1
所以,即
,
由,且
为整数,得
,
所以不等式有解时的
的最小整数为
.
方法二:当时,
,所以
,
由得,当
时,不等式
有解,
下证:当时,
恒成立,即证
恒成立.
显然当时,不等式恒成立,
只需证明当时,
恒成立.
即证明.令
,
所以,由
,得
,
当,
;当
,
;
所以.
所以当时,
恒成立.
综上所述,不等式有解时的
的最小整数为
..1
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【题目】对任意实数a,b定义运算“⊙”:a⊙b= 设f(x)=2x+1⊙(1﹣x),若函数f(x)与函数g(x)=x2﹣6x在区间(m,m+1)上均为减函数,且m∈{﹣1,0,1,3},则m的值为( )
A.0
B.﹣1或0
C.0或1
D.0或1或3
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【题目】设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是 、
,坐标平面上点列An、Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①
=
且
=
+
;②
=4
且
=
×4
;
(1)写出 及
的坐标,并求出
的坐标;
(2)若△OAnBn+1的面积是an , 求an(n∈N*)的表达式;
(3)对于(2)中的an , 是否存在最大的自然数M,对一切n∈N*都有an≥M成立?若存在,求出M,若不存在,说明理由.
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【题目】【2017镇江一模20】已知函数,
(
为常数).
(1)若函数与函数
在
处有相同的切线,求实数
的值;
(2)若,且
,证明:
;
(3)若对任意,不等式恒
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】【2017南通二模19】已知函数,
,其中e为自然对数的底数.
(1)求函数在x
1处的切线方程;
(2)若存在,使得
成立,其中
为常数,
求证:;
(3)若对任意的,不等式
恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】将函数h(x)=2sin(2x+ )的图象向右平移
个单位,再向上平移2个单位,得到函数f(x)的图象,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=0对称
B.关于直线x=π对称
C.关于点( ,0)对称
D.关于点( ,2)对称
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【题目】【2017重庆市八中5月模考】已知(
),
,其中
为自然对数的底数.
(1)若恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若在(1)的条件下,当取最大值时,求证:
.
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