Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）是否存在最大的常数k，对于任意x实数都有f（x）＞k，求出k；若不存在，说明理由．
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：先利用函数是奇函数，求出参数a，b的值．
利用函数的奇偶性和单调性求出k．
利用函数的单调性得到f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0的等价命题，再利用不等式恒成立的条件，解出k即可．

解答：解  （1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，解得b=1
从而有f(x)=

-2x+1

2x+1+a

又由f（1）=-f（-1）知

-2+1

4+a

=

- 1 2 +1

1+a

，解得a=2…..（4分）
（2）由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式易知f（x）在R上为减函数，f(x)＞-

1

2

，所以k=-

1

2

．…．（8分）
（3）解法一：由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式易知f（x）在R上为减函数，
又因f（x）是奇函数，从而不等式
f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
因f（x）是R上的减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+k
即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0
从而△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

     …．（13分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，以及指数函数的性质．