Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC的中点， 得AD⊥BC， 又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC， 因为PO∩BC=O， 所以BC⊥平面PAD， 故BC⊥PA。
（Ⅱ）解：如图，在平面PAD内作BM⊥PA于M，连结CM， 由（Ⅰ）中知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC， 又AP平面APC，所以平面BMC⊥平面APC， 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=； 在Rt△POD中，PB2=PO2+OD2， 在Rt△PDB中，PB2=PD2+BD2， 所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6； 在Rt△POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5， 又， 从而， 所以AM=PA-PM=3； 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。