Question

已知函数f（x）=

2x

x+1

，数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，且满足a_n+1=f（a_n），（n∈N^*）
（Ⅰ）令b_n=

1

an

-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令c_n=

n

an

，求数列{c_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意易得b_n+1=

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）=

1

2

b_n，即可得证；
（Ⅱ）c_n=

n

an

=n+

n

2n

，利用分组求和即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+1=f（a_n），f（x）=

2x

x+1

，
∴a_n+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

1

2

（1+

1

an

），
∴b_n+1=

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）=

1

2

b_n，
又b₁=

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b_n=(

1

2

)n，

1

an

=

1

2n

+1，
∴c_n=

n

an

=n+

n

2n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=（1+2+…+n）+（

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

）
=

n(n+1)

2

+2-

n+2

2n

．

点评：本题主要考查了等比数列的定义及数列求和的方法分组求和及错位相减法求和，考查学生的运算求解能力及推理论证能力，属中档题．