Question

直线过抛物线的焦点，并且与抛物线相交于和两点.求证：对于此抛物线的任意给定的一条弦，直线不是的垂直平分线.用反证法证明.

Answer 1

证明见解析

证明：假设直线是的垂直平分线，设的斜率为，则的方程是．
设直线与轴的交点坐标为，则的方程是．
设的坐标分别为，则的中点坐标是．
可知，是方程组的两组解．
方程组消去，得．　　　①
显然，，方程①有两个不等的实数根，故，
于是有，．
但的中点坐标满足方程，
，
即，
．
因此有，
这与①式中矛盾，原假定不成立．
所以，直线不是的垂直平分线．