Question

20．函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，
（1）求ω，φ的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=$\sqrt{2}$，b=1，f（$\frac{A}{2}$）=2，求角B的值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ的值．
（2）根据f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{4}$）=2，求得A的值，再利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象可得
$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{4}$）=2，∴sin（A+$\frac{π}{4}$）=1，∴A=$\frac{π}{4}$．
又 a=$\sqrt{2}$，b=1，故B为锐角，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即 $\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{sinB}$，
求得sinB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式；正弦定理的应用，属于中档题．