Question

10．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（α＞0）．
（1）证明：f（x）在区间（0，$\sqrt{a}$]上为减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞） 上为增函数；
（2）求f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导数f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，根据导数符号即可得出f（x）在区间（0，$\sqrt{a}$]上为减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上为增函数；
（2）根据上面导数符号的判断过程即知x=$\sqrt{a}$时，f（x）取最小值，求出该值即可．

解答 解：（1）证明：f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$；
∴x∈（0，$\sqrt{a}$]时，f′（x）≤0，x∈[$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）≥0；
∴f（x）在区间$（0，\sqrt{2}]$上为减函数，在$[\sqrt{a}，+∞）$上为增函数；
（2）由（1）知，x=$\sqrt{a}$时，f（x）取最小值$2\sqrt{a}$．

点评 考查根据导数符号证明函数在一区间上的单调性的方法，以及根据导数求函数最值的方法及过程，要正确求导．