Question

19．f（x）是定义在（-∞，-10]∪[10，+∞）上的奇函数，且f（x）在[10，+∞）上单调递减．
（1）判断f（x）在（-∞，-10]上的单调性，并用定义予以证明；
（2）若a＞0且a≠1，有f[-（a^x+1）²-a^x]+f（a^2x-6a^x+10）＞0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 用函数单调性的定义证明：函数f（x）的单调性，并利用单调性求解不等式．

解答 解：（1）设x₁，x₂∈（-∞，-10]，且x₁＜x₂，则-x₁＞x₂≥10，
而f（x）在[10，+∞）上单调递减，所以f（-x₂）＞f（-x₁），
又f（x）是奇函数，所以-f（x₂）＞-f（x₁），即f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在（-∞，-10]上是减函数．
（2）因为f[-（a^x+1）²-a^x]+f（a^2x-6a^x+10）＞0，
所以f（a^2x-6a^x+10）＞f[（a^x+1）²+a^x]，
所以a^2x-6a^x+10）＞（a^x+1）²+a^x≥10，
解得a^x≥6，
所以当0＜a＜1时，x≤log_a6，当a＞1时，x≥log_a6．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的结合，考查单调性的定义，考查利用单调性求解不等式，确定函数的单调性是关键．