Question

5．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈Z）满足f（-x）+f（x）=0，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x≤-1时，判断f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（-x）+f（x）=0可得出c=0，而根据f（1）=2可以得到b=$\frac{a+1}{2}$，此时便可得出f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{\frac{a+1}{2}x}$，再根据条件f（2）＜3可得到a的范围，而根据a，b∈Z便可得出a=b=1；
（2）由上面可得出f（x）=$x+\frac{1}{x}$，求导，判断导数f′（x）在x≤-1时的符号，即可判断出f（x）的单调性．

解答 解：（1）由f（-x）+f（x）=0得，f（-x）=-f（x）；
∴$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}=\frac{a{x}^{2}+1}{-bx-c}$；
∴-bx+c=-bx-c；
∴c=0；
∴由f（1）=2得，$\frac{a+1}{b}=2$，即b=$\frac{a+1}{2}$；
∴f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{\frac{a+1}{2}x}$；
f（2）＜3；
∴$\frac{4a+1}{a+1}＜3$；
解得-1＜a＜2，又a，b∈Z；
∴a=1，b=1；
∴a，b，c的值分别为1，1，0；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x$+\frac{1}{x}$；
∴$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$；
∵x≤-1；
∴x²-1≥0；
∴f′（x）≥0；
∴当x≤-1时，f（x）单调递增．

点评 考查奇函数的定义，通过条件求函数f（x）解析式中的参数，从而确定函数解析式的方法，注意条件a，b为整数的运用，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．