Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-3，x∈（0，1]}\\{{2}^{x-1}-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$且g（x）=f（x）-mx在（0，2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• B． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx=0，即f（x）=mx，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-3，x∈（0，1]}\\{{2}^{x-1}-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$的图象如图所示．
m∈（0，$\frac{1}{2}$]时，y=mx与图象两支有两个交点，
m＜0时，由0＜x≤1，$\frac{1}{x}$-3=mx，即mx²+3x-1=0，
方程有两解时，$\left\{\begin{array}{l}{9+4m＞0}\\{0＜-\frac{3}{2m}≤1}\\{m+2≤0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{9}{4}$＜m≤-2，
综上所述，（-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．