Question

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，CE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，且EC⊥平面ABCD．
（1）求证：DE=BE；
（2）求面ABF与面EBC所成二面角的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，BC=AD=CD=1，由此能证明DE=BE．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面ABF与面EBC所成二面角的余弦值．

解答 证明：（1）在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，
∴BC=AD=1，AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴CD=1，
∴DE=BE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{22}}{4}$．
∴DE=BE．
解：（2）∵EC⊥平面ABCD，AC⊥BC，
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
设平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{4}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，$\sqrt{6}$），
平面EBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设面ABF与面EBC所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴面ABF与面EBC所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查两条线段长相等的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．