Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在侧面BB₁C₁C上的射影为正方形BB₁C₁C的中心M，且BB₁=2$\sqrt{2}$，AB=AC=3，E为A₁C₁的中点．
（1）求证：A₁B∥平面B₁CE；
（2）求二面角B-A₁B₁-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结EM，推导出EM∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面B₁CE．
（2）以M点为原点，MB为x轴，MB₁为y轴，MA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-A₁B₁-C₁的正弦值．

解答 证明：（1）连结EM，
∵正方形BB₁C₁C的中心是M，E为A₁C₁的中点，
∴在△A₁BC₁中，EM∥A₁B，
∵EM?平面B₁CE，A₁B?平面B₁CE，
∴A₁B∥平面B₁CE．
解：（2）以M点为原点，MB为x轴，MB₁为y轴，MA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），B（2，0，0），B₁（0，2，0），C₁（-2，0，0），
A₁M=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}-M{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，
∴${A}_{1}（0，0，\sqrt{5}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2，-2，0），
设平面A₁BB₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2y-\sqrt{5}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），
设平面A₁B₁C₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2y-\sqrt{5}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令a=-1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1+1+\frac{4}{5}}{1+1+\frac{4}{5}}$=$\frac{2}{7}$，
设二面角B-A₁B₁-C₁的平面角为θ，
则sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{7}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{7}$
∴二面角B-A₁B₁-C₁的正弦值为$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．