Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，
AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=$\frac{1}{2}$AD，E是线段AB中点．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）求三棱锥P-CDE的表面积．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥PE，PE⊥AB．即可证明PE⊥平面ABCD．然后证明PE⊥CD．
（2）求出三棱锥的棱长，各个面的面积，然后求解三棱锥P-CDE的表面积．

解答 证明：（1）因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．…（2分）
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．          …（3分）
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．               …（4分）．
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD…．（6分）
解：（2）由（1）可知PE⊥底面ABCD，PE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
EC=$\sqrt{2}$，ED=$\sqrt{1+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．CD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2+3}$=$\sqrt{5}$，
PD=$\sqrt{P{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{3+5}$=$2\sqrt{2}$．
S_△CDE=$\frac{1+2}{2}×2$-$\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{3}{2}$，
S_△CDP=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$．
S_△CPE=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
S_△PDE=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
三棱锥P-CDE的表面积：$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{{\sqrt{15}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，三棱锥的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．