Question

9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，BC=CC₁=4，D是A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）求点B到平面B₁CD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BC₁∩B₁C于点E，连DE，利用三角形的中位线性质，证明DE∥A₁B，即可证明A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）利用等体积，求点B到平面B₁CD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）设BC₁∩B₁C于点E，连DE，
∵在△A₁BC₁中，D为A₁C₁的中点，E为BC₁的中点，
∴DE∥A₁B，
∵DE?平面B₁CD，A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅱ）解：△B₁CD中，B₁D=CD=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，B₁C=4$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{20-8}$=4$\sqrt{6}$．
设点B到平面B₁CD的距离为h，则$\frac{1}{3}×4\sqrt{6}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$，
∴h=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查考查线面平行的证明，考查等体积方法的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．