Question

18．已知圆C：（x-a）²+（y-b）²=1（a＞1）关于直线y=x+1对称，直线x+y-4=0交圆C与A，B两点，且|AB|=$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6（O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知圆C的圆心（a，b）在直线y=x+1上，代入直线方程化简，由弦长公式和条件求出圆心C到直线x+y-4=0的距离，由点到直线的距离公式列出方程，联立后求出a、b的值，可得答案；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+2代入圆C的方程化简，表示出△＞0并化简求出k的范围，由韦达定理写出x₁+x₂和x₁x₂，由向量的数量积运算化简$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6，代入化简后求出k的值，验证可得答案．

解答 解：（1）由题意知圆C的圆心（a，b）在直线y=x+1上，所以b=a+1，①
因为圆心C到直线x+y-4=0的距离为$\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$\frac{|a+b-4|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，化简得a+b-4=1或a+b-4=-1，②
联立①②，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$（舍），
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（4分）
（2）假设存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6（O为坐标原点），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=kx+2代入方程（x-2）²+（y-3）²=1，得（x-2）²+（kx-1）²=1，
即（1+k²）x²-（2k+4）x+4=0，③
由△=（2k+4）²-16（1+k²）＞0得，
-4（3k²-4k）＞0，解得$0＜k＜\frac{4}{3}$，
且${x_1}+{x_2}=\frac{2k+4}{{1+{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{4}{{1+{k^2}}}$．…（7分）
因为$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+2）（k{x}_{2}+2）$
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
所以$（1+{k^2}）×\frac{4}{{1+{k^2}}}+2k×\frac{2k+4}{{1+{k^2}}}+4=6$，
即3k²+4k+1=0，解得k=-1或k=$-\frac{1}{3}$，…（10分）
此时③式中△＜0，没有实根，与直线l与C交于M、N两点相矛盾，
所以不存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=6$．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系的条件，相交时所得弦长公式，点到直线的距离公式，以及向量的数量积运算，考查了设而不求思想，化简、变形能力．