Question

8．设函数f（x）=|kx-1|（k∈R）．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为$\left\{{x|-\frac{1}{3}≤x≤1}\right\}$，求k的值；
（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用不等式的解集与方程解的关系，根据不等式f（x）≤2的解集为$\left\{{x|-\frac{1}{3}≤x≤1}\right\}$，即可求k的值；
（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k-1|+|2k-1|＜5，分类讨论求k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤2的解集为$\left\{{x|-\frac{1}{3}≤x≤1}\right\}$，
∴|-$\frac{1}{3}$k-1|=2且|k-1|=2，
∴k=3；
（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k-1|+|2k-1|＜5．
k＜$\frac{1}{2}$时，-k+1-2k+1＜5，∴k＞-1，∴-1＜k＜$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2}$≤k≤1时，-k+1+2k-1＜5，∴k＜5，∴$\frac{1}{2}$≤k≤1；
k＞1时，k-1+2k-1＜5，∴k＜$\frac{7}{3}$，∴1＜k＜$\frac{7}{3}$，
综上所述，-1＜k＜$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．