Question

10．设f（x）=ln（1+3^x+9^xa），对于任意的a∈R，若当x∈（-∞，0]时，f（x）恒有意义，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． [-2，+∞）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 设y=1+3^x+9^xa，t=3^x，由x∈（-∞，0]和指数函数的性质求出t的范围，代入函数y化简，由题意和对数函数的性质进行转化，由分离常数法表示出a，利用换元法、配方法和一元二次函数的性质求出最大值，可得a的取值范围．

解答 解：设y=1+3^x+9^xa，t=3^x，
由x∈（-∞，0]得t∈（0，1]，
代入y=1+3^x+9^xa得，y=at²+t+1，
∵对于任意的a∈R，若当x∈（-∞，0]时，f（x）恒有意义，
∴对于任意的a∈R，若当t∈（0，1]时，at²+t+1＞0恒有意义，
则$a＞\frac{-t-1}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}$，
由t∈（0，1]得$\frac{1}{t}≥1$，设m=$\frac{1}{t}$，
则y=-m²-m=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-2，即$-\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}$的最大值是-2，
∴实数a的取值范围是（-2，+∞），
故选D．

点评 本题考查了对数函数的性质，指数函数、一元二次函数的性质，以及分离常数法、换元法、配方法的应用，考查化简、变形能力．