Question

16．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=$\sqrt{2}$，E是A₁C₁边的中点，过A，B，E作截面交B₁C₁于点D
（Ⅰ）证明：B₁C⊥AD；
（Ⅱ）求点C₁到截面ABDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接B₁C，证明：B₁C⊥平面ADB，即可证明B₁C⊥AD；
（Ⅱ）点C₁到截面ABDE的距离=点B₁到截面ABDE的距离B₁O，利用等面积求点C₁到截面ABDE的距离．

解答 （Ⅰ）证明：连接B₁C，则
∵E是A₁C₁边的中点，过A，B，E作截面交B₁C₁于点D
∴D是B₁C₁边的中点，
∵BC=2，AA₁=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{B}_{1}B}{D{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}B}$，
∴△B₁BC∽△DB₁B，
∴∠BB₁C=∠B₁DB，
∴B₁C⊥BD，
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴B₁C⊥平面ADB，
∵AD?平面ADB，
∴B₁C⊥AD；
（Ⅱ）解：点C₁到截面ABDE的距离=点B₁到截面ABDE的距离B₁O．
△B₁BD中，BD=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，由等面积可得B₁O=$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题给出直三棱柱，求证线面垂直并求点到平面的距离．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，及其应用等知识，属于中档题．