Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=$\sqrt{2}$．
（1）求证：MN∥平面PDC；
（2）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件分别求出BM、MD、PB，得到$\frac{BN}{NP}$=$\frac{BM}{MD}$，即可得到MN∥PD，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用等体积方法，求点C到平面PBD的距离．

解答 （1）证明：在正△ABC中，BM=2$\sqrt{3}$．
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∵∠ADC=120°，∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BM}{MD}$=3．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BN}{NP}$=3，
∴$\frac{BN}{NP}$=$\frac{BM}{MD}$，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC；
（2）解：设点C到平面PBD的距离为h．
由（1）可知，BD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，PM=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{5}$=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$．
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{1}{3}×\frac{8\sqrt{15}}{3}h$，∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点C到平面PBD的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求体积是关键．